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Numeri naturali
Simboli * moltiplicazione : divisione + somma - sottrazione
Addizioni +

Proprietà
Commutativa: a+b = b+a
Associativa: (a+b)+c = a+ (b+c)
 Prodotto *

Proprietà
Commutativa: a*b = b*a
Associativa: (a*b)*c = a*(b*c)

Proprietà distributiva della somma rispetto il prodotto
a*(b+c) = a*b + a*c
5*(3+2) = 5*5 = 25
Segni Inversi
+
X
potenza		 -
:
radice


00  è senza significato
 

Potenze

72 = 7*7 = 49
28 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 256

 

Proprietà delle potenze con stessa base

23:22 = 21     23*22 = 25   con la divisione si sottrae o con la moltiplicazione si somma

(23)2 = 26    con la parentesi si moltiplica

 

Proprietà delle potenze con stesso esponente

62:22 = 32    l'esponente non cambia, si fa la divisione (o moltiplicazione) tra i 2 numeri e si copia l'esponente

 

(-2)3    (-2)4
un numero negativo con esponente pari da il risultato positivo (+) mentre se ha esponente dispari da risultato negativo (-)

-20 = 1   -    20= 1
Un numero qualsiasi elevato alla zero è sempre 1

 

-22    (-2)2 Sembrano uguali ma sono diverse
nel primo caso la potenze riguarda solo il numero 2, nel secondo riguarda anche il segno, quindi nella prima viene -4, nella seconda +4



Numeri primi

Un numero è primo quando è divisibile SOLO per se stesso e per uno

I numeri primi sono... 1 - 2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 29 - 31 - 37 - 41 - 43 - 47 - 53
TAVOLA DEI NUMERI PRIMI
 



Scomposizione in fattori primi
Si divide il numero per il primo numero primo, se non si può si usa il successivo

40=
40:2
20:2
10:2
5:5
0
23 * 5

630=
630:2
315:3
105:3
35:5
7:7
0

2 * 33 * 5 * 7

Per i numeri negativi si fa -9 = -(32)
il meno davanti alla parentesi cambierà il segno

MCD Massimo Comune Divisore
e
mcm minimo comune multiplo

Per l'MCD si prendono solo quelli presenti in entrambi con esponente più piccolo
Per l'mcm si prendono tutti i numeri primi con il massimo esponente

42= 2*3*7
63= 32*7

MCD (42,63) = 3* 7 = 21
mcm (42,63) = 2 * 32 * 7 = 126

NB se non c'è un MCD  vuol dire che è comune solo in numero 1 e si dice che i numeri sono primi tra di loro

Numeri negativi

Regola del meno davanti alla parentesi

(+5) -(-2)= +5 +2 = +7
(-5) -(+3)= -5 -3 = -7

Quando si fa scomparire la parentesi i numeri nella parentesi davanti cambiano tutti segno

Moltiplicazione tra numeri negativi e positivi

-*- = +
+*+ = +
-*+ = -
+*- = -

Espressioni con i numeri negativi

Prima si eliminano le parentesi, si svolgono i calcoli all'interno e se c'è un meno davanti alla parentesi si mette il segno opposto
si fanno prima moltiplicazioni e divisioni partendo da destra e sinistra, poi somme e sottrazioni

-(6+3*5):(10-20:5+1)

-(6+3*5):(10-20:5+1)
-(6+15):(10-4+1)
(moltiplicazioni o divisioni interne alle parentesi, in caso di più parentesi si parte da quelle più interne, le tonde)

-(6+15):(10-4+1)
-(21):(7)
(somme e sottrazioni)

-(21):(7)
-21:7
(cambia il segno di 21)

-21:7 = 3
(tolte le parentesi si fa la divisione finale)

Se c'è (+2)(-3) tra le due parentesi se non c'è nessun segno vuol dire che c'è una moltiplicazione

Espressioni semplici

Esempi per capire la differenza, le prime sono somme, le seconde moltiplicazioni

-2 -3 = -5
2 + 3 = 5
-2 +3 = +1
2 -3 = -1

-2 (-3)= +6
-2 (+3)= -6
2 (-3)= -6
-2 (-3)= +6

Somme

(-8) + (+3)= -5
4 + (+1)= +5
(+15) + (-15)= 0

(-22) -(+7)= -22 -7 = -29
12 - (-6)= 12 +6 = 18
-180 -(-20)= -180 + 20 = -160

Prodotti

(7) . (+8) = -56
(-11).(-2)= + 22
0 . (-33)= 0
(-12) . 0= 0

Divisioni

(-72) : (+72)= -1
(-57) : (-1)= +57

Potenze

(-22)  *  (-2)2 = -16
La base 2 rimane invariata per la proprietà delle potenze
L'esponente si somma
Il segno è meno, perché nella prima rimane invariato dato che la potenza è riferita solo al numero, mentre nella seconda il segno diventa positivo. Meno per più uguale meno
Perché è come dire -4 * +4 =  -16

Potenze (numeri da scomporre)

Se troviamo 9 si può anche dire che è 3*3 o 32

Quindi: 9 * 22     può essere fatto anche come 32 * 22 = 62 usando una delle proprietà delle potenze

oppure portando la stessa base 9 * 35 : 36 =
il nove diventa 32 e quindi tutte le basi sono uguali
32 * 35 : 36 si lascia la base 3 e si fa 2+5-6 quindi il risultato è 3
(sarebbe 31 , però non si mette l'esponente 1)

 

Ci sono anche i numeri come 14 che può essere scomposto in 7*2=
Se è 142 si fa 72*22=

--------O--------

Un esempio un po' più complicato (grazie a Giusy xD)

(-7)3 * (-4)3 : (14)2 =

Scompongo il 4 e il 14 nei numeri più piccoli:

=  (-7)3 * (-22)3 : 72 . 22 

Poi guardo le potenze con la stessa base e sommo o sottraggo gli esponenti a seconda dei casi

= (-7)3: 72 * (-22)3 : 22

Sì attuano le proprietà delle potenze e viene -71 * -24 = ossia -7 * -16 = + 112

Nella parte evidenziata c'è stato un cambio  dei fattori che non so bene spiegare, c'è una proprietà della moltiplicazione/divisione in sostanza:
7*4:14= 2
ma scomponendo
7*(2*2):(7*2) (perché 4 è 2*2 e 7 è 7*2)
poi per una proprietà che non so viene:
7/7*(2*2)/(2) che da sempre 2

Numeri razionali
Frazioni

Le vere frazioni devono contenere numeri primi tra di loro se no sarebbero infinite

1/2 va bene, mentre 2/4 3/6 no, rappresentano sempre lo stesso valore ma non sono frazioni con numeri primi tra di loro

 2
- _
 3

Il meno è sempre davanti  al segno di fratto _ e rappresenta tutta la frazione

Scomposizione di una frazione per rendere i numeri primi

4/6 = 2/3     si divide sia 4 che 6 per 2

Operazioni con le frazioni

3/4 + 1/2 messa così non si può fare, bisogna che il denominatore (quello sotto) sia uguale per entrambi
3/4 rimane uguale

1/2 si moltiplica per 2 e viene 2/4

2/4 + 2/4 = 5/4

se invece c'è una sottrazione
4/6 - 5/6 = -1/6